Виды точек разрыва функции

Текущая версия страницы пока опытными участниками и может значительно отличаться отпроверенной 6 января 2016; проверки требует. Текущая версия страницы пока опытными участниками и может значительно отличаться отпроверенной 6 января виды точек разрыва функции проверки требует. Эта статья — о непрерывной числовой функции. О непрерывных отображениях в различных разделах математики см. Непрерывная функция — функция без «скачков», то есть такая, у которой малые изменения приводят к виды точек разрыва функции изменениям значения функции. Непрерывная функция, вообще говоря, синоним понятиятем не менее чаще всего этот термин используется в более узком смысле — для отображений между числовыми пространствами, например, на. Эта статья посвящена именно непрерывным функциям, определённым на подмножестве вещественных чисел и принимающим вещественные значения. Функция непрерывна в точкеесли для любого существует такое, что для любого Функция непрерывна на множествеесли виды точек разрыва функции непрерывна в каждой точке данного множества. В этом случае говорят, что функция класса и пишут: или, подробнее. Другими словами, функция непрерывна в точкедля множестваесли имеет предел в точкеи этот предел совпадает со значением функции. По сравнению с определением предела функции по Коши в определении непрерывности нет требования, обязывающего все значения аргумента удовлетворять условиют. Функция непрерывна в точке, если её в данной точке равно нулю. Другими словами, если — значение функции в точкето предел такой функции если он существует не совпадает с. На языке окрестностей условие разрывности функции в точке получается отрицанием условия непрерывности рассматриваемой функции в данной точке, а именно: существует такая окрестность точки области значений функциичто как виды точек разрыва функции мы близко не подходили к точке области определения функциивсегда найдутся такие точки, чьи будут за пределами окрестности точки. Здесь приведена классификация для простейшего случая —. Таким же образом классифицируют и точки, где функция не определена. Стоит заметить, что классификация в различается от автора к автору. Если функция имеет разрыв в данной точке виды точек разрыва функции есть предел функции в данной точке отсутствует или не совпадает со значением функции в данной точкето для числовых функций возникает два возможных варианта, связанных с существованием у числовых функций односторонних пределов: если оба односторонних предела существуют и конечны, то такую точку называют точкой разрыва первого рода. К точкам разрыва первого рода относят устранимые разрывы и скачки. К точкам разрыва второго рода относят полюса и точки существенного разрыва. Если «поправить» функцию в точке устранимого разрыва и положитьто получится функция, непрерывная в данной точке. Такая операция над функцией называется доопределением функции до непрерывной или доопределением функции по непрерывности, что и обосновывает название точки, как точки устранимого разрыва. Еслито это устранимая особая точка аналогично функции виды точек разрыва функции аргумента. В многомерных пространствах, если модуль числа растёт, считается, чтокаким путём бы он ни рос. Если предел вообще виды точек разрыва функции существует, это существенная особая точка. То, что в считается скачком, в пространствах бóльших размерностей — существенная особая точка. Если функция непрерывна в точке илито или для всехдостаточно близких к. Если функции и непрерывны в точкето функции и тоже непрерывны в точке. Если функции и непрерывны в точке и при этомто функция тоже непрерывна в точке. Если функция непрерывна в точке и функция непрерывна в точкето их непрерывна в точке. Функция, непрерывная на отрезке или любом другомограничена и достигает на нём свои максимальное и минимальное значения. Областью значений функциинепрерывной на отрезкеявляется отрезок где минимум и максимум берутся по отрезку. Если функция непрерывна на отрезке и то существует точка в которой. Если функция непрерывна на отрезке и число удовлетворяет неравенству или неравенству то существует точка в которой. Непрерывное отображение отрезка в вещественную прямую в том и только в том случае, когда данная функция на отрезке строго. Если функции и непрерывны на отрезкепричем и то существует точка в которой Отсюда, в частности, следует, что любое непрерывное отображение отрезка в себя имеет хотя бы одну. Эта функция непрерывна в каждой точке. Точка является точкой разрыва первого рода, причёмв то время как в самой точке функция обращается в нуль. Тем не менее, в точке существует правосторонний предел, который совпадает со значением функции в данной точке. Таким образом, данная функция является примером непрерывной справа функции на всей области определения. Аналогично, ступенчатая функция, определяемая как является примером непрерывной слева функции на всей области определения. По сути, функция Дирихле — это. Эта функция является всюду разрывной функцией, поскольку на каждом интервале существуют как рациональные, так иррациональные числа. Эта функция является непрерывной всюду в множествепоскольку предел функции в каждой виды точек разрыва функции равен нулю. Каждая равномерно непрерывная на множестве функция, очевидно, является также и непрерывной на нём. Обратное, вообще говоря, неверно. Однако, если область определения — компакт, то непрерывная функция оказывается также и равномерно непрерывной на данном отрезке. Между непрерывностью и полунепрерывностью имеется следующая связь: если взять функциюнепрерывную в точкеи уменьшить значение на конечную величинуто мы получим функцию, полунепрерывную снизу в точке ; виды точек разрыва функции взять функциюнепрерывную в точкеи увеличить значение на виды точек разрыва функции величинуто мы получим функцию, полунепрерывную сверху в точке. В соответствии с этим можно допустить для полунепрерывных функций бесконечные значения: еслито будем считать такую функцию полунепрерывной снизу в точке ; еслито будем считать такую функцию полунепрерывной сверху в точке. Если функция такова, что она непрерывна всюду навиды точек разрыва функции, быть может, множества меры нуль, то такая функция называется непрерывной почти всюду. В том случае, когда множество точек разрыва функции не более чем счётно, мы получаем класс интегрируемых по Риману функций см. Последнее изменение этой страницы: 08:27, 7 января 2016. Текст доступен виды точек разрыва функции ; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия. Виды точек разрыва функции — зарегистрированный товарный знак некоммерческой организации.

Также смотрите:

Комментарии:
  • Марина Рахманина

    13.10.2015

    Точки разрыва и их классификация Понятие непрерывности функции Рассмотрим некоторую функцию , непрерывную на всей числовой прямой: Или, говоря лаконичнее, наша функция непрерывна на множестве действительных чисел.